(2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2 lösen

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 15 mit 2, und erhalten Sie 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 225 von 9, um -216 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 100, um 99 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie 99 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie 99 von -216, um -315 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Kombinieren Sie 12x und -2x, um 10x zu erhalten.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-63 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -63 ergeben.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 2 ergibt.

$$a=-7 b=9$$

x^{2}+2x-63 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 15 mit 2, und erhalten Sie 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 225 von 9, um -216 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 100, um 99 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie 99 von beiden Seiten.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Subtrahieren Sie 99 von -216, um -315 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Kombinieren Sie 12x und -2x, um 10x zu erhalten.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 5, b durch 10 und c durch -315, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie -20 mit -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Addieren Sie 100 zu 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±80}{10}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -10 zu 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividieren Sie 70 durch 10.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-10±80}{10}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 80 von -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Dividieren Sie -90 durch 10.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 15 mit 2, und erhalten Sie 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 225 von 9, um -216 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Potenzieren Sie 10 mit 2, und erhalten Sie 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 100, um 99 zu erhalten.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Auf beiden Seiten x^{2} addieren.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und x^{2}, um 5x^{2} zu erhalten.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Kombinieren Sie 12x und -2x, um 10x zu erhalten.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Auf beiden Seiten 216 addieren.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

Addieren Sie 99 und 216, um 315 zu erhalten.

$$5x^{2}+10x=315$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

Division durch 5 macht die Multiplikation mit 5 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Dividieren Sie 10 durch 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Dividieren Sie 315 durch 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Dividieren Sie 2, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 1 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 1 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Addieren Sie 63 zu 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Faktor x^{2}+2x+1. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Vereinfachen.

$$x+1=8 x+1=-8$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=7 x=-9$$