(2x+1)^2-x^2-(x-1)^2=(2x+3)(2x-3)+1 lösen

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) + 1$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x^{2}-2x+1\right)=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$3x^{2}+4x+1-x^{2}+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+4x+1+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x und 2x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Betrachten Sie \left(2x+3\right)\left(2x-3\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 zum Quadrat.

$$2x^{2}+6x=\left(2x\right)^{2}-9+1$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$2x^{2}+6x=2^{2}x^{2}-9+1$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-9+1$$

Addieren Sie -9 und 1, um -8 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-8$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x-4x^{2}=-8$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -4x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Auf beiden Seiten 8 addieren.

$$-2x^{2}+6x+8=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -4 ergeben.

$$-1,4 -2,2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=4 b=-1$$

-x^{2}+3x+4 als \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right) umschreiben.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x^{2}-2x+1\right)=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$3x^{2}+4x+1-x^{2}+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+4x+1+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x und 2x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Betrachten Sie \left(2x+3\right)\left(2x-3\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 zum Quadrat.

$$2x^{2}+6x=\left(2x\right)^{2}-9+1$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$2x^{2}+6x=2^{2}x^{2}-9+1$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-9+1$$

Addieren Sie -9 und 1, um -8 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-8$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x-4x^{2}=-8$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -4x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Auf beiden Seiten 8 addieren.

$$-2x^{2}+6x+8=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -2, b durch 6 und c durch 8, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 8}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 8 mit 8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+64}}{2\left(-2\right)}$$

Addieren Sie 36 zu 64.

$$x=\frac{-6±\sqrt{100}}{2\left(-2\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 100.

$$x=\frac{-6±10}{2\left(-2\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -2.

$$x=\frac{-6±10}{-4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±10}{-4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 10.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Dividieren Sie 4 durch -4.

$$x=-1$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±10}{-4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 10 von -6.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

Dividieren Sie -16 durch -4.

$$x=4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-1 x=4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x-1\right)^{2}=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

\left(x-1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$3x^{2}+4x+1-\left(x^{2}-2x+1\right)=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Um das Gegenteil von "x^{2}-2x+1" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$3x^{2}+4x+1-x^{2}+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 3x^{2} und -x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+4x+1+2x-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Kombinieren Sie 4x und 2x, um 6x zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+1-1=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=\left(2x+3\right)\left(2x-3\right)+1$$

Betrachten Sie \left(2x+3\right)\left(2x-3\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 3 zum Quadrat.

$$2x^{2}+6x=\left(2x\right)^{2}-9+1$$

Erweitern Sie \left(2x\right)^{2}.

$$2x^{2}+6x=2^{2}x^{2}-9+1$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-9+1$$

Addieren Sie -9 und 1, um -8 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=4x^{2}-8$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x-4x^{2}=-8$$

Kombinieren Sie 2x^{2} und -4x^{2}, um -2x^{2} zu erhalten.

$$-2x^{2}+6x=-8$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -2.

$$\frac{-2x^{2}+6x}{-2}=-\frac{8}{-2}$$

Division durch -2 macht die Multiplikation mit -2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{-2}x=-\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie 6 durch -2.

$$x^{2}-3x=-\frac{8}{-2}$$

Dividieren Sie -8 durch -2.

$$x^{2}-3x=4$$

Dividieren Sie -3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 4 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=-1$$