(2x+1)^2=1+(x-1)(x+1) lösen

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx+1 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=1 b=3$$

3x^{2}+4x+1 als \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Klammern Sie x in 3x^{2}+x aus.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+1=0 und x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 3, b durch 4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Addieren Sie 16 zu -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2}{6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-2}{6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2}{6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Dividieren Sie -6 durch 6.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(2x+1\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Betrachten Sie \left(x-1\right)\left(x+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 1, um 0 zu erhalten.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Kombinieren Sie 4x^{2} und -x^{2}, um 3x^{2} zu erhalten.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division durch 3 macht die Multiplikation mit 3 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie -\frac{1}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$