(100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2 lösen

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Potenzieren Sie 100 mit 2, und erhalten Sie 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Addieren Sie 10000 und 10000, um 20000 zu erhalten.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Kombinieren Sie x^{2} und -4x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtrahieren Sie 400x von beiden Seiten.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Kombinieren Sie 200x und -400x, um -200x zu erhalten.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtrahieren Sie 10000 von beiden Seiten.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Subtrahieren Sie 10000 von 20000, um 10000 zu erhalten.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als -3x^{2}+ax+bx+10000 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -30000 ergeben.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -200 ergibt.

$$a=100 b=-300$$

-3x^{2}-200x+10000 als \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right) umschreiben.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Klammern Sie -x in der ersten und -100 in der zweiten Gruppe aus.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-100 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-100=0 und -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Potenzieren Sie 100 mit 2, und erhalten Sie 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Addieren Sie 10000 und 10000, um 20000 zu erhalten.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Kombinieren Sie x^{2} und -4x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtrahieren Sie 400x von beiden Seiten.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Kombinieren Sie 200x und -400x, um -200x zu erhalten.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtrahieren Sie 10000 von beiden Seiten.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Subtrahieren Sie 10000 von 20000, um 10000 zu erhalten.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -3, b durch -200 und c durch 10000, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-200 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 12 mit 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Addieren Sie 40000 zu 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

Das Gegenteil von -200 ist 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{200±400}{-6}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 200 zu 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Dividieren Sie 600 durch -6.

$$x=-100$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{200±400}{-6}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 400 von 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-200}{-6} um den niedrigsten Term, indem Sie 2 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{100}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Potenzieren Sie 100 mit 2, und erhalten Sie 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

Addieren Sie 10000 und 10000, um 20000 zu erhalten.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Subtrahieren Sie 4x^{2} von beiden Seiten.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Kombinieren Sie x^{2} und -4x^{2}, um -3x^{2} zu erhalten.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Subtrahieren Sie 400x von beiden Seiten.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Kombinieren Sie 200x und -400x, um -200x zu erhalten.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Subtrahieren Sie 20000 von beiden Seiten.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Subtrahieren Sie 20000 von 10000, um -10000 zu erhalten.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

Division durch -3 macht die Multiplikation mit -3 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Dividieren Sie -200 durch -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Dividieren Sie -10000 durch -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Dividieren Sie \frac{200}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{100}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{100}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{100}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Addieren Sie \frac{10000}{3} zu \frac{10000}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

\frac{100}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$