(1)x^2-8x+15 lösen

$$( 1 ) x ^ { 2 } - 8 x + 15$$

Faktorisieren

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+15 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 15 ergeben.

$$-1,-15 -3,-5$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -8 ergibt.

$$a=-5 b=-3$$

x^{2}-8x+15 als \left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-5 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-8x+15=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu -60.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$x=\frac{8±2}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2.

$$x=\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie 10 durch 2.

$$x=5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{8±2}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2 von 8.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x=3$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 5 und für x_{2} 3 ein.

$$x^{2}-8x+15=\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$

Auswerten

$$\left(x-5\right)\left(x-3\right)$$