(1)(3x+2)^2=16 lösen

$$( 1 ) ( 3 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x=-2$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Dividieren Sie beide Seiten durch 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 4, um -12 zu erhalten.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 3.

$$3x^{2}+4x-4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 3x^{2}+ax+bx-4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=4 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -12 ergeben.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 4 ergibt.

$$a=-2 b=6$$

3x^{2}+4x-4 als \left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right) umschreiben.

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(6x-4\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(3x-2\right)+2\left(3x-2\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x-2 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x-2\right)\left(x+2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x-2=0 und x+2=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Dividieren Sie beide Seiten durch 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+12x+4-16=0$$

Subtrahieren Sie 16 von 4, um -12 zu erhalten.

$$9x^{2}+12x-12=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 12 und c durch -12, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 9\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-36\left(-12\right)}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit -12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 144 zu 432.

$$x=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 576.

$$x=\frac{-12±24}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-12±24}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±24}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 24.

$$x=\frac{12}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=\frac{2}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±24}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 24 von -12.

$$x=-\frac{36}{18}$$

Dividieren Sie -36 durch 18.

$$x=-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Dividieren Sie beide Seiten durch 1.

$$\left(3x+2\right)^{2}=16$$

\left(3x+2\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+12x+4=16$$

Subtrahieren Sie 4 von beiden Seiten.

$$9x^{2}+12x=16-4$$

Subtrahieren Sie 4 von 16, um 12 zu erhalten.

$$9x^{2}+12x=12$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+12x}{9}=\frac{12}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{12}{9}x=\frac{12}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{12}{9}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{12}{9} um den niedrigsten Term, indem Sie 3 extrahieren und aufheben.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{4}{3}$$

Dividieren Sie \frac{4}{3}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{2}{3} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{2}{3} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{2}{3}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{4}{3}+\frac{4}{9}$$

Addieren Sie \frac{4}{3} zu \frac{4}{9}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktor x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$$

\frac{2}{3} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{2}{3} x=-2$$