(-2x+9)(-9x+5)+(-9x-5)^2=0 lösen

$$( - 2 x + 9 ) ( - 9 x + 5 ) + ( - 9 x - 5 ) ^ { 2 } = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198}\approx 0,005050505+0,840859798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}\approx 0,005050505-0,840859798i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2x+9 mit -9x+5 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$18x^{2}-91x+45+\left(-9x-5\right)^{2}=0$$

\left(-9x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$18x^{2}-91x+45+81x^{2}+90x+25=0$$

Kombinieren Sie 18x^{2} und 81x^{2}, um 99x^{2} zu erhalten.

$$99x^{2}-91x+45+90x+25=0$$

Kombinieren Sie -91x und 90x, um -x zu erhalten.

$$99x^{2}-x+45+25=0$$

Addieren Sie 45 und 25, um 70 zu erhalten.

$$99x^{2}-x+70=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 99, b durch -1 und c durch 70, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 99\times 70}}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 99.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-396\times 70}}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie -396 mit 70.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-27720}}{2\times 99}$$

Addieren Sie 1 zu -27720.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27719}}{2\times 99}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -27719.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{27719}i}{2\times 99}$$

Das Gegenteil von -1 ist 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{2\times 99}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 99.

$$x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 1 zu i\sqrt{27719}.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{27719}i}{198}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{27719} von 1.

$$x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198} x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -2x+9 mit -9x+5 zu multiplizieren und gleiche Terme zusammenzufassen.

$$18x^{2}-91x+45+\left(-9x-5\right)^{2}=0$$

\left(-9x-5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$18x^{2}-91x+45+81x^{2}+90x+25=0$$

Kombinieren Sie 18x^{2} und 81x^{2}, um 99x^{2} zu erhalten.

$$99x^{2}-91x+45+90x+25=0$$

Kombinieren Sie -91x und 90x, um -x zu erhalten.

$$99x^{2}-x+45+25=0$$

Addieren Sie 45 und 25, um 70 zu erhalten.

$$99x^{2}-x+70=0$$

Subtrahieren Sie 70 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$99x^{2}-x=-70$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 99.

$$\frac{99x^{2}-x}{99}=-\frac{70}{99}$$

Division durch 99 macht die Multiplikation mit 99 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x=-\frac{70}{99}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{99}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{198} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{198} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\left(-\frac{1}{198}\right)^{2}=-\frac{70}{99}+\left(-\frac{1}{198}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{198}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204}=-\frac{70}{99}+\frac{1}{39204}$$

Addieren Sie -\frac{70}{99} zu \frac{1}{39204}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204}=-\frac{27719}{39204}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{99}x+\frac{1}{39204}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{198}\right)^{2}=-\frac{27719}{39204}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{198}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27719}{39204}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{198}=\frac{\sqrt{27719}i}{198} x-\frac{1}{198}=-\frac{\sqrt{27719}i}{198}$$

Addieren Sie \frac{1}{198} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{1+\sqrt{27719}i}{198} x=\frac{-\sqrt{27719}i+1}{198}$$