(x^2-5x+3)=8 lösen

$$( { x }^{ 2 } -5x+3)=8$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} \approx 5.854101966$$

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}\approx -0.854101966$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-5x+3=8$$

8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-5x+3-8=8-8$$

Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-5x+3-8=0$$

Subtrahieren Sie 8 von 3.

$$x^{2}-5x-5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu 20.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 45.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Das Gegenteil von -5 ist 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{5} von 5.

$$x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-5x+3=8$$

3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-5x+3-3=8-3$$

Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-5x=8-3$$

Subtrahieren Sie 3 von 8.

$$x^{2}-5x=5$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie 5 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}$$