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x^{2}-5x+3=8
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x^{2}-5x+3-8=8-8
8 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-5x+3-8=0
Die Subtraktion von 8 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-5x-5=0
Subtrahieren Sie 8 von 3.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -5 und c durch -5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-5\right)}}{2}
-5 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+20}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit -5.
x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{45}}{2}
Addieren Sie 25 zu 20.
x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{5}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 45.
x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}
Das Gegenteil von -5 ist 5.
x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 5 zu 3\sqrt{5}.
x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{5±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{5} von 5.
x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-5x+3=8
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-5x+3-3=8-3
3 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-5x=8-3
Die Subtraktion von 3 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-5x=5
Subtrahieren Sie 3 von 8.
x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}
Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-5x+\frac{25}{4}=5+\frac{25}{4}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{45}{4}
Addieren Sie 5 zu \frac{25}{4}.
\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}
Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{5}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}
Vereinfachen.
x=\frac{3\sqrt{5}+5}{2} x=\frac{5-3\sqrt{5}}{2}
Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.