(sqrt{2}+sqrt{5})^2-(2+sqrt{10})^2+sqrt{90}+(2sqrt{2}-1)(2sqrt{2}+1) lösen

$$( \sqrt { 2 } + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - ( 2 + \sqrt { 10 } ) ^ { 2 } + \sqrt { 90 } + ( 2 \sqrt { 2 } - 1 ) ( 2 \sqrt { 2 } + 1 )$$

Auswerten

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Lösungsschritte

\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Um \sqrt{2} und \sqrt{5} zu multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahlen unter der Quadratwurzel.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Das Quadrat von \sqrt{5} ist 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Addieren Sie 2 und 5, um 7 zu erhalten.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

\left(2+\sqrt{10}\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Das Quadrat von \sqrt{10} ist 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Addieren Sie 4 und 10, um 14 zu erhalten.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Um das Gegenteil von "14+4\sqrt{10}" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Subtrahieren Sie 14 von 7, um -7 zu erhalten.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kombinieren Sie 2\sqrt{10} und -4\sqrt{10}, um -2\sqrt{10} zu erhalten.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

90=3^{2}\times 10 faktorisieren. Schreiben Sie die Quadratwurzel des Produkts \sqrt{3^{2}\times 10} als das Produkt der Quadratwurzeln \sqrt{3^{2}}\sqrt{10} um. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kombinieren Sie -2\sqrt{10} und 3\sqrt{10}, um \sqrt{10} zu erhalten.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Betrachten Sie \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Die Multiplikation kann mithilfe folgender Regel in die Differenz von Quadratzahlen transformiert werden: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 zum Quadrat.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Erweitern Sie \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Potenzieren Sie 2 mit 2, und erhalten Sie 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Das Quadrat von \sqrt{2} ist 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Multiplizieren Sie 4 und 2, um 8 zu erhalten.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Subtrahieren Sie 1 von 8, um 7 zu erhalten.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Addieren Sie -7 und 7, um 0 zu erhalten.

$$\sqrt{10}$$