(1/5-x)^2+x^2=1 lösen

$$( \frac { 1 } { 5 } - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 1$$

Nach x auflösen

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(\frac{1}{5}-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{1}{25}-\frac{2}{5}x+x^{2}+x^{2}=1$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$\frac{1}{25}-\frac{2}{5}x+2x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten.

$$\frac{1}{25}-\frac{2}{5}x+2x^{2}-1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von \frac{1}{25}, um -\frac{24}{25} zu erhalten.

$$-\frac{24}{25}-\frac{2}{5}x+2x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$2x^{2}-\frac{2}{5}x-\frac{24}{25}=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch -\frac{2}{5} und c durch -\frac{24}{25}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\sqrt{\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}-4\times 2\left(-\frac{24}{25}\right)}}{2\times 2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{5}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\sqrt{\frac{4}{25}-4\times 2\left(-\frac{24}{25}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\sqrt{\frac{4}{25}-8\left(-\frac{24}{25}\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -\frac{24}{25}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\sqrt{\frac{4+192}{25}}}{2\times 2}$$

Addieren Sie \frac{4}{25} zu \frac{192}{25}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\sqrt{\frac{196}{25}}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{196}{25}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{2}{5}\right)±\frac{14}{5}}{2\times 2}$$

Das Gegenteil von -\frac{2}{5} ist \frac{2}{5}.

$$x=\frac{\frac{2}{5}±\frac{14}{5}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{\frac{2}{5}±\frac{14}{5}}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{2}{5}±\frac{14}{5}}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{2}{5} zu \frac{14}{5}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=\frac{\frac{16}{5}}{4}$$

Dividieren Sie \frac{16}{5} durch 4.

$$x=\frac{4}{5}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{2}{5}±\frac{14}{5}}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{14}{5} von \frac{2}{5}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler subtrahieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x=-\frac{\frac{12}{5}}{4}$$

Dividieren Sie -\frac{12}{5} durch 4.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{5}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(\frac{1}{5}-x\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$\frac{1}{25}-\frac{2}{5}x+x^{2}+x^{2}=1$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$\frac{1}{25}-\frac{2}{5}x+2x^{2}=1$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{25} von beiden Seiten.

$$-\frac{2}{5}x+2x^{2}=1-\frac{1}{25}$$

Subtrahieren Sie \frac{1}{25} von 1, um \frac{24}{25} zu erhalten.

$$-\frac{2}{5}x+2x^{2}=\frac{24}{25}$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$2x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{24}{25}$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}-\frac{2}{5}x}{2}=\frac{\frac{24}{25}}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{2}{5}}{2}\right)x=\frac{\frac{24}{25}}{2}$$

Dividieren Sie -\frac{2}{5} durch 2.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{\frac{24}{25}}{2}$$

Dividieren Sie \frac{24}{25} durch 2.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{12}{25}$$

Dividieren Sie -\frac{1}{5}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{1}{10} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{1}{10}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{12}{25}+\frac{1}{100}$$

Addieren Sie \frac{12}{25} zu \frac{1}{100}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{49}{100}$$

Faktor x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{7}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{7}{10}$$

Addieren Sie \frac{1}{10} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{5}$$