z^4-2z^2+3=0 lösen

$${ z }^{ 4 } -2 { z }^{ 2 } +3=0$$

Nach z auflösen

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1,168770894+0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1,168770894-0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}\approx -1,168770894-0,605000334i$$

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}}\approx 1,168770894+0,605000334i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ersetzen Sie z^{2} durch t.

$$t^{2}-2t+3=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -2 und c durch 3.

$$t=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung t=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$t=1+\sqrt{2}i t=-\sqrt{2}i+1$$

Da z=t^{2}, werden die Lösungen durch die Auswertung z=±\sqrt{t} für jede t abgerufen.

$$z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{-\frac{\arctan(\sqrt{2})i}{2}} z=\sqrt[4]{3}e^{\frac{-\arctan(\sqrt{2})i+2\pi i}{2}}$$