x^3+7x^2+14x+8 lösen

$${ x }^{ 3 } +7 { x }^{ 2 } +14x+8$$

Faktorisieren

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Lösungsschritte

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck 8 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -4. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+4 teilen.

$$\left(x+4\right)\left(x^{2}+3x+2\right)$$

Betrachten Sie x^{2}+3x+2. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx+2 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=1 b=2$$

x^{2}+3x+2 als \left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(2x+2\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x+1\right)+2\left(x+1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x+1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Auswerten

$$\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$