x^3+5x^2+3x-9 lösen

$${ x }^{ 3 } +5 { x }^{ 2 } +3x-9$$

Faktorisieren

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)^{2}$$

Lösungsschritte

Laut dem Satz über rationale Nullstellen (Rational Root Theorem) haben alle rationalen Nullstellen eines Polynoms die Form \frac{p}{q}, wobei der konstante Ausdruck -9 durch p dividiert wird und der Leitkoeffizient 1 durch q. Eine solche Wurzel ist -3. Faktorisieren Sie das Polynom, indem Sie es durch x+3 teilen.

$$\left(x+3\right)\left(x^{2}+2x-3\right)$$

Betrachten Sie x^{2}+2x-3. Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-3 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-1 b=3$$

x^{2}+2x-3 als \left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-1 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

Schreiben Sie den vollständigen, faktorisierten Ausdruck um.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)^{2}$$

Auswerten

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)^{2}$$