x^2-x-1>0 lösen

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -1 und c durch -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Damit das Produkt positiv ist, müssen x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} und x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide negativ oder beide positiv sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} und x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide negativ sind.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} und x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide positiv sind.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$