x^2-9x-70=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -9x-70 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-5$$

$$x=14$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-9x-70 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=-70$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -70 ergeben.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-14 b=5$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-14=0 und x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-70 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-9 ab=1\left(-70\right)=-70$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -70 ergeben.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -9 ergibt.

$$a=-14 b=5$$

x^{2}-9x-70 als \left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-14x\right)+\left(5x-70\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 5 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-14\right)+5\left(x-14\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-14 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-14\right)\left(x+5\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-14=0 und x+5=0.

$$x=14 x=-5$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -9 und c durch -70, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-70\right)}}{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-70\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -70.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+280}}{2}$$

Addieren Sie 81 zu 280.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 361.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±19}{2}$$

Das Gegenteil von -9 ist 9.

$$x=\frac{9±19}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±19}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 9 zu 19.

$$x=\frac{28}{2}$$

Dividieren Sie 28 durch 2.

$$x=14$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{9±19}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 19 von 9.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividieren Sie -10 durch 2.

$$x=-5$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=14 x=-5$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-9x-70=0$$

Addieren Sie 70 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-9x-70-\left(-70\right)=-\left(-70\right)$$

Die Subtraktion von -70 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-9x=-\left(-70\right)$$

Subtrahieren Sie -70 von 0.

$$x^{2}-9x=70$$

Dividieren Sie -9, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{9}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=70+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{9}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=70+\frac{81}{4}$$

Addieren Sie 70 zu \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktor x^{2}-9x+\frac{81}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{19}{2}$$

Addieren Sie \frac{9}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=14 x=-5$$