x^2-6x-27=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -6x-27 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-3$$

$$x=9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-6x-27 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=-27$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -27 ergeben.

$$1,-27 3,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-9 b=3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-27 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -27 ergeben.

$$1,-27 3,-9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-9 b=3$$

x^{2}-6x-27 als \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-9 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-9=0 und x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -6 und c durch -27, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-27\right)}}{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-27\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -27.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2}$$

Addieren Sie 36 zu 108.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±12}{2}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±12}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±12}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 12.

$$x=\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie 18 durch 2.

$$x=9$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±12}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 6.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie -6 durch 2.

$$x=-3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9 x=-3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Addieren Sie 27 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-6x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Die Subtraktion von -27 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-6x=-\left(-27\right)$$

Subtrahieren Sie -27 von 0.

$$x^{2}-6x=27$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=27+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=27+9$$

Addieren Sie 27 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=36$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=36$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Vereinfachen.

$$x-3=6 x-3=-6$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=9 x=-3$$