x^2-6x-11=4 lösen

$${ x }^{ 2 } -6x-11=4$$

Nach x auflösen

$$x=2\sqrt{6}+3\approx 7,898979486$$

$$x=3-2\sqrt{6}\approx -1,898979486$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-6x-11=4$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-6x-11-4=4-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-6x-11-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von -11.

$$x^{2}-6x-15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -6 und c durch -15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-15\right)}}{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-15\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -15.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+60}}{2}$$

Addieren Sie 36 zu 60.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{96}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 96.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{6}}{2}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 4\sqrt{6}.

$$x=\frac{4\sqrt{6}+6}{2}$$

Dividieren Sie 6+4\sqrt{6} durch 2.

$$x=2\sqrt{6}+3$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±4\sqrt{6}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{6} von 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{6}}{2}$$

Dividieren Sie 6-4\sqrt{6} durch 2.

$$x=3-2\sqrt{6}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-6x-11=4$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-6x-11-\left(-11\right)=4-\left(-11\right)$$

Die Subtraktion von -11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-6x=4-\left(-11\right)$$

Subtrahieren Sie -11 von 4.

$$x^{2}-6x=15$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=15+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=15+9$$

Addieren Sie 15 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=24$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=24$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{24}$$

Vereinfachen.

$$x-3=2\sqrt{6} x-3=-2\sqrt{6}$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2\sqrt{6}+3 x=3-2\sqrt{6}$$