x^2-6x+11=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -6 und c durch 11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Addieren Sie 36 zu -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

Das Gegenteil von -6 ist 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dividieren Sie 6+2i\sqrt{2} durch 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{2} von 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Dividieren Sie 6-2i\sqrt{2} durch 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-6x+11=0$$

11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Addieren Sie -11 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Vereinfachen.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$