Nach x auflösen (komplexe Lösung)
x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i
x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i
Diagramm
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x^{2}-6x+11=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -6 und c durch 11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}
-6 zum Quadrat.
x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit 11.
x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}
Addieren Sie 36 zu -44.
x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -8.
x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}
Das Gegenteil von -6 ist 6.
x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 6 zu 2i\sqrt{2}.
x=3+\sqrt{2}i
Dividieren Sie 6+2i\sqrt{2} durch 2.
x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{2} von 6.
x=-\sqrt{2}i+3
Dividieren Sie 6-2i\sqrt{2} durch 2.
x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-6x+11=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-6x+11-11=-11
11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
x^{2}-6x=-11
Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}
Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-6x+9=-11+9
-3 zum Quadrat.
x^{2}-6x+9=-2
Addieren Sie -11 zu 9.
\left(x-3\right)^{2}=-2
Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i
Vereinfachen.
x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3
Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.
Beispiele
Quadratische Gleichung
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometrie
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Lineare Gleichung
y = 3x + 4
Arithmetisch
699 * 533
Matrix
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Simultane Gleichung
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Differenzierung
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integration
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Grenzwerte
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}