x^2-4x-16>0 lösen

$${ x }^{ 2 } -4x-16 > 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(-\infty,2-2\sqrt{5}\right)\cup \left(2\sqrt{5}+2,\infty\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-4x-16=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{4±4\sqrt{5}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=2\sqrt{5}+2 x=2-2\sqrt{5}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\left(2\sqrt{5}+2\right)\right)\left(x-\left(2-2\sqrt{5}\right)\right)>0$$

Damit das Produkt positiv ist, müssen x-\left(2\sqrt{5}+2\right) und x-\left(2-2\sqrt{5}\right) beide negativ oder beide positiv sein. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(2\sqrt{5}+2\right) und x-\left(2-2\sqrt{5}\right) beide negativ sind.

$$x-\left(2\sqrt{5}+2\right)<0 x-\left(2-2\sqrt{5}\right)<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x<2-2\sqrt{5}.

$$x<2-2\sqrt{5}$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\left(2\sqrt{5}+2\right) und x-\left(2-2\sqrt{5}\right) beide positiv sind.

$$x-\left(2-2\sqrt{5}\right)>0 x-\left(2\sqrt{5}+2\right)>0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x>2\sqrt{5}+2.

$$x>2\sqrt{5}+2$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x<2-2\sqrt{5}\text{; }x>2\sqrt{5}+2$$