x^2-4x-11=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -4x-11=0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{15}+2\approx 5,872983346$$

$$x=2-\sqrt{15}\approx -1,872983346$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-4x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+44}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 44.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{60}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 60.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{15}}{2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{15}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{15}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2\sqrt{15}.

$$x=\frac{2\sqrt{15}+4}{2}$$

Dividieren Sie 4+2\sqrt{15} durch 2.

$$x=\sqrt{15}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{15}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{15} von 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{15}}{2}$$

Dividieren Sie 4-2\sqrt{15} durch 2.

$$x=2-\sqrt{15}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{15}+2 x=2-\sqrt{15}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-4x-11=0$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-4x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Die Subtraktion von -11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-4x=-\left(-11\right)$$

Subtrahieren Sie -11 von 0.

$$x^{2}-4x=11$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=11+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=11+4$$

Addieren Sie 11 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=15$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=15$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{15}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\sqrt{15} x-2=-\sqrt{15}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{15}+2 x=2-\sqrt{15}$$