x^2-4x+1=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -4x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Dividieren Sie 4+2\sqrt{3} durch 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{3} von 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividieren Sie 4-2\sqrt{3} durch 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-4x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

Dividieren Sie -4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

-2 zum Quadrat.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Addieren Sie -1 zu 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Faktor x^{2}-4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Vereinfachen.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Addieren Sie 2 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$