x^2-3x+1<0 lösen

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Für x lösen

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Um die Ungleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite. Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -3 und c durch 1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Berechnungen ausführen.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie die Gleichung x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}, wenn ± Plus ist und wenn ± minus ist.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Die Ungleichung umschreiben, indem Sie die erhaltenen Lösungen verwenden.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Damit das Produkt negativ ist, müssen x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} und x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} gegensätzliche Vorzeichen haben. Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} positiv und x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negativ ist.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Dies ist falsch für alle x.

$$x\in \emptyset$$

Erwägen Sie den Fall, wenn x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} positiv und x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negativ ist.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

Die Lösung, die beide Ungleichungen erfüllt, lautet x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Die endgültige Lösung ist die Vereinigung der erhaltenen Lösungen.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$