x^2-32x+45=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -32x+45=0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{211}+16\approx 30,525839046$$

$$x=16-\sqrt{211}\approx 1,474160954$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-32x+45=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -32 und c durch 45, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 45}}{2}$$

-32 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 45}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 45.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-180}}{2}$$

Addieren Sie 1024 zu -180.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{844}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 844.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±2\sqrt{211}}{2}$$

Das Gegenteil von -32 ist 32.

$$x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 32 zu 2\sqrt{211}.

$$x=\frac{2\sqrt{211}+32}{2}$$

Dividieren Sie 32+2\sqrt{211} durch 2.

$$x=\sqrt{211}+16$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{32±2\sqrt{211}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{211} von 32.

$$x=\frac{32-2\sqrt{211}}{2}$$

Dividieren Sie 32-2\sqrt{211} durch 2.

$$x=16-\sqrt{211}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{211}+16 x=16-\sqrt{211}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-32x+45=0$$

45 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-32x+45-45=-45$$

Die Subtraktion von 45 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-32x=-45$$

Dividieren Sie -32, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -16 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -16 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-32x+\left(-16\right)^{2}=-45+\left(-16\right)^{2}$$

-16 zum Quadrat.

$$x^{2}-32x+256=-45+256$$

Addieren Sie -45 zu 256.

$$x^{2}-32x+256=211$$

Faktor x^{2}-32x+256. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-16\right)^{2}=211$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-16\right)^{2}}=\sqrt{211}$$

Vereinfachen.

$$x-16=\sqrt{211} x-16=-\sqrt{211}$$

Addieren Sie 16 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{211}+16 x=16-\sqrt{211}$$