x^2-25x+5=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -25x+5=0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{11 \sqrt{5} + 25}{2} \approx 24,798373876$$

$$x=\frac{25-11\sqrt{5}}{2}\approx 0,201626124$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-25x+5=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -25 und c durch 5, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

-25 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 5}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-20}}{2}$$

Addieren Sie 625 zu -20.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{605}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 605.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±11\sqrt{5}}{2}$$

Das Gegenteil von -25 ist 25.

$$x=\frac{25±11\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±11\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 25 zu 11\sqrt{5}.

$$x=\frac{11\sqrt{5}+25}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{25±11\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 11\sqrt{5} von 25.

$$x=\frac{25-11\sqrt{5}}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{11\sqrt{5}+25}{2} x=\frac{25-11\sqrt{5}}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-25x+5=0$$

5 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-25x+5-5=-5$$

Die Subtraktion von 5 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-25x=-5$$

Dividieren Sie -25, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{25}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{25}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-5+\frac{625}{4}$$

Addieren Sie -5 zu \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{605}{4}$$

Faktor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{605}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{605}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{11\sqrt{5}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{11\sqrt{5}}{2}$$

Addieren Sie \frac{25}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{11\sqrt{5}+25}{2} x=\frac{25-11\sqrt{5}}{2}$$