x^2-21x+104=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Nach x auflösen

$$x=8$$

$$x=13$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-21x+104 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-21 ab=104$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 104 ergeben.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -21 ergibt.

$$a=-13 b=-8$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-13=0 und x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+104 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 104 ergeben.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -21 ergibt.

$$a=-13 b=-8$$

x^{2}-21x+104 als \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -8 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-13 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-13=0 und x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -21 und c durch 104, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

-21 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Addieren Sie 441 zu -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

Das Gegenteil von -21 ist 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±5}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 21 zu 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie 26 durch 2.

$$x=13$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{21±5}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 5 von 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Dividieren Sie 16 durch 2.

$$x=8$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=13 x=8$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-21x+104=0$$

104 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Die Subtraktion von 104 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Dividieren Sie -21, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{21}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{21}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{21}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Addieren Sie -104 zu \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktor x^{2}-21x+\frac{441}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Addieren Sie \frac{21}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=13 x=8$$