x^2-14x+19=4 lösen

$${ x }^{ 2 } -14x+19=4$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{34}+7\approx 12,830951895$$

$$x=7-\sqrt{34}\approx 1,169048105$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-14x+19=4$$

4 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-14x+19-4=4-4$$

Die Subtraktion von 4 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-14x+19-4=0$$

Subtrahieren Sie 4 von 19.

$$x^{2}-14x+15=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -14 und c durch 15, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 15}}{2}$$

-14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 15}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-60}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu -60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{136}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 136.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{34}}{2}$$

Das Gegenteil von -14 ist 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 14 zu 2\sqrt{34}.

$$x=\frac{2\sqrt{34}+14}{2}$$

Dividieren Sie 14+2\sqrt{34} durch 2.

$$x=\sqrt{34}+7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{14±2\sqrt{34}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{34} von 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{34}}{2}$$

Dividieren Sie 14-2\sqrt{34} durch 2.

$$x=7-\sqrt{34}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-14x+19=4$$

19 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-14x+19-19=4-19$$

Die Subtraktion von 19 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-14x=4-19$$

Subtrahieren Sie 19 von 4.

$$x^{2}-14x=-15$$

Dividieren Sie -14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-15+\left(-7\right)^{2}$$

-7 zum Quadrat.

$$x^{2}-14x+49=-15+49$$

Addieren Sie -15 zu 49.

$$x^{2}-14x+49=34$$

Faktor x^{2}-14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-7\right)^{2}=34$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{34}$$

Vereinfachen.

$$x-7=\sqrt{34} x-7=-\sqrt{34}$$

Addieren Sie 7 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{34}+7 x=7-\sqrt{34}$$