x^2-12x-5=-22 lösen

$${ x }^{ 2 } -12x-5=-22$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{19}+6\approx 10,358898944$$

$$x=6-\sqrt{19}\approx 1,641101056$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Addieren Sie 22 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=-22-\left(-22\right)$$

Die Subtraktion von -22 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-12x-5-\left(-22\right)=0$$

Subtrahieren Sie -22 von -5.

$$x^{2}-12x+17=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -12 und c durch 17, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 17}}{2}$$

-12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 17}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 17.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-68}}{2}$$

Addieren Sie 144 zu -68.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{76}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 76.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{19}}{2}$$

Das Gegenteil von -12 ist 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 12 zu 2\sqrt{19}.

$$x=\frac{2\sqrt{19}+12}{2}$$

Dividieren Sie 12+2\sqrt{19} durch 2.

$$x=\sqrt{19}+6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{12±2\sqrt{19}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{19} von 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{19}}{2}$$

Dividieren Sie 12-2\sqrt{19} durch 2.

$$x=6-\sqrt{19}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-12x-5=-22$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-12x-5-\left(-5\right)=-22-\left(-5\right)$$

Die Subtraktion von -5 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-12x=-22-\left(-5\right)$$

Subtrahieren Sie -5 von -22.

$$x^{2}-12x=-17$$

Dividieren Sie -12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-17+\left(-6\right)^{2}$$

-6 zum Quadrat.

$$x^{2}-12x+36=-17+36$$

Addieren Sie -17 zu 36.

$$x^{2}-12x+36=19$$

Faktor x^{2}-12x+36. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-6\right)^{2}=19$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{19}$$

Vereinfachen.

$$x-6=\sqrt{19} x-6=-\sqrt{19}$$

Addieren Sie 6 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{19}+6 x=6-\sqrt{19}$$