x^2-115x+4254=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -115x+4254=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}\approx 57,5+30,785548558i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}\approx 57,5-30,785548558i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -115 und c durch 4254, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{\left(-115\right)^{2}-4\times 4254}}{2}$$

-115 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-4\times 4254}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4254.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{13225-17016}}{2}$$

Addieren Sie 13225 zu -17016.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{-3791}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -3791.

$$x=\frac{-\left(-115\right)±\sqrt{3791}i}{2}$$

Das Gegenteil von -115 ist 115.

$$x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 115 zu i\sqrt{3791}.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{115±\sqrt{3791}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{3791} von 115.

$$x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-115x+4254=0$$

4254 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-115x+4254-4254=-4254$$

Die Subtraktion von 4254 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-115x=-4254$$

Dividieren Sie -115, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{115}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{115}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-115x+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}=-4254+\left(-\frac{115}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{115}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-4254+\frac{13225}{4}$$

Addieren Sie -4254 zu \frac{13225}{4}.

$$x^{2}-115x+\frac{13225}{4}=-\frac{3791}{4}$$

Faktor x^{2}-115x+\frac{13225}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}=-\frac{3791}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{115}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3791}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{115}{2}=\frac{\sqrt{3791}i}{2} x-\frac{115}{2}=-\frac{\sqrt{3791}i}{2}$$

Addieren Sie \frac{115}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{115+\sqrt{3791}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3791}i+115}{2}$$