x^2-10x-299=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -10x-299 = 0$$

Nach x auflösen

$$x=-13$$

$$x=23$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-10x-299 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=-299$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -299 ergeben.

$$1,-299 13,-23$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-299=-298 13-23=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-23 b=13$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-23\right)\left(x+13\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-23=0 und x+13=0.

$$x=23 x=-13$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-299 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=1\left(-299\right)=-299$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -299 ergeben.

$$1,-299 13,-23$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1-299=-298 13-23=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-23 b=13$$

x^{2}-10x-299 als \left(x^{2}-23x\right)+\left(13x-299\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(13x-299\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 13 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-23\right)+13\left(x-23\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-23 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-23\right)\left(x+13\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-23=0 und x+13=0.

$$x=23 x=-13$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-10x-299=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch -299, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-299\right)}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-299\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -299.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1196}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu 1196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 1296.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±36}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±36}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±36}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 36.

$$x=\frac{46}{2}$$

Dividieren Sie 46 durch 2.

$$x=23$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±36}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 36 von 10.

$$x=-\frac{26}{2}$$

Dividieren Sie -26 durch 2.

$$x=-13$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=23 x=-13$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-10x-299=0$$

Addieren Sie 299 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-10x-299-\left(-299\right)=-\left(-299\right)$$

Die Subtraktion von -299 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-299\right)$$

Subtrahieren Sie -299 von 0.

$$x^{2}-10x=299$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=299+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=299+25$$

Addieren Sie 299 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=324$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=324$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Vereinfachen.

$$x-5=18 x-5=-18$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=23 x=-13$$