x^2-10x-11=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -10x-11=0$$

Nach x auflösen

$$x=-1$$

$$x=11$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-10x-11 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=-11$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-11 b=1$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-11=0 und x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-11 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=1\left(-11\right)=-11$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, hat die negative Zahl einen größeren Absolutwert als die positive. Das einzige derartige Paar ist die Lösung des Systems.

$$a=-11 b=1$$

x^{2}-10x-11 als \left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(x-11\right)$$

Klammern Sie x in x^{2}-11x aus.

$$x\left(x-11\right)+x-11$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-11\right)\left(x+1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-11=0 und x+1=0.

$$x=11 x=-1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch -11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+44}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu 44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±12}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±12}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±12}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 12.

$$x=\frac{22}{2}$$

Dividieren Sie 22 durch 2.

$$x=11$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±12}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 10.

$$x=-\frac{2}{2}$$

Dividieren Sie -2 durch 2.

$$x=-1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=11 x=-1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-10x-11=0$$

Addieren Sie 11 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}-10x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Die Subtraktion von -11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-11\right)$$

Subtrahieren Sie -11 von 0.

$$x^{2}-10x=11$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=11+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=11+25$$

Addieren Sie 11 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=36$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=36$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Vereinfachen.

$$x-5=6 x-5=-6$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=11 x=-1$$