x^2-10x+21=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -10x+21=0$$

Nach x auflösen

$$x=3$$

$$x=7$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}-10x+21 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=21$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 21 ergeben.

$$-1,-21 -3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-7 b=-3$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+21 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-10 ab=1\times 21=21$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 21 ergeben.

$$-1,-21 -3,-7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -10 ergibt.

$$a=-7 b=-3$$

x^{2}-10x+21 als \left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -3 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-7\right)\left(x-3\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-7=0 und x-3=0.

$$x=7 x=3$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-10x+21=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch 21, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 21}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 21.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-84}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -84.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 16.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±4}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±4}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±4}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 4.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie 14 durch 2.

$$x=7$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±4}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4 von 10.

$$x=\frac{6}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x=3$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=7 x=3$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-10x+21=0$$

21 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-10x+21-21=-21$$

Die Subtraktion von 21 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-10x=-21$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-21+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=-21+25$$

Addieren Sie -21 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=4$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=4$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Vereinfachen.

$$x-5=2 x-5=-2$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=7 x=3$$