x^2-10x+11=0 lösen

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8,741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1,258342613$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -10 und c durch 11, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-10 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

Addieren Sie 100 zu -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

Das Gegenteil von -10 ist 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 10 zu 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

Dividieren Sie 10+2\sqrt{14} durch 2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{14} von 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

Dividieren Sie 10-2\sqrt{14} durch 2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}-10x+11=0$$

11 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

Die Subtraktion von 11 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}-10x=-11$$

Dividieren Sie -10, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -5 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -5 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

-5 zum Quadrat.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

Addieren Sie -11 zu 25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

Faktor x^{2}-10x+25. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Vereinfachen.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

Addieren Sie 5 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$