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x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=0
Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.
x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}
Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -\frac{3}{4} und c durch -\frac{1}{2}, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}-4\left(-\frac{1}{2}\right)}}{2}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{4}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{9}{16}+2}}{2}
Multiplizieren Sie -4 mit -\frac{1}{2}.
x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\sqrt{\frac{41}{16}}}{2}
Addieren Sie \frac{9}{16} zu 2.
x=\frac{-\left(-\frac{3}{4}\right)±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}
Ziehen Sie die Quadratwurzel aus \frac{41}{16}.
x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}
Das Gegenteil von -\frac{3}{4} ist \frac{3}{4}.
x=\frac{\sqrt{41}+3}{2\times 4}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie \frac{3}{4} zu \frac{\sqrt{41}}{4}.
x=\frac{\sqrt{41}+3}{8}
Dividieren Sie \frac{3+\sqrt{41}}{4} durch 2.
x=\frac{3-\sqrt{41}}{2\times 4}
Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{\frac{3}{4}±\frac{\sqrt{41}}{4}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \frac{\sqrt{41}}{4} von \frac{3}{4}.
x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}
Dividieren Sie \frac{3-\sqrt{41}}{4} durch 2.
x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}
Die Gleichung ist jetzt gelöst.
x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}=0
Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.
x^{2}-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)=-\left(-\frac{1}{2}\right)
Addieren Sie \frac{1}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.
x^{2}-\frac{3}{4}x=-\left(-\frac{1}{2}\right)
Die Subtraktion von -\frac{1}{2} von sich selbst ergibt 0.
x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{2}
Subtrahieren Sie -\frac{1}{2} von 0.
x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}
Dividieren Sie -\frac{3}{4}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{3}{8} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.
x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{2}+\frac{9}{64}
Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{3}{8}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.
x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{41}{64}
Addieren Sie \frac{1}{2} zu \frac{9}{64}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.
\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}
Faktor x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.
\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}
Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.
x-\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}
Vereinfachen.
x=\frac{\sqrt{41}+3}{8} x=\frac{3-\sqrt{41}}{8}
Addieren Sie \frac{3}{8} zu beiden Seiten der Gleichung.