x^2+x-42 lösen

$${ x }^{ 2 } +x-42$$

Faktorisieren

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Lösungsschritte

Faktorisieren Sie den Ausdruck durch Gruppieren. Zuerst muss der Ausdruck als x^{2}+ax+bx-42 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -42 ergeben.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 1 ergibt.

$$a=-6 b=7$$

x^{2}+x-42 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 7 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Ein quadratisches Polynom kann mithilfe der Transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisiert werden, wobei x_{1} und x_{2} die Lösungen der quadratischen Gleichung ax^{2}+bx+c=0 sind.

$$x^{2}+x-42=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

1 zum Quadrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Addieren Sie 1 zu 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±13}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -1 zu 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-1±13}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 13 von -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dividieren Sie -14 durch 2.

$$x=-7$$

Den ursprünglichen Ausdruck mithilfe von ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) faktorisieren. Setzen Sie für x_{1} 6 und für x_{2} -7 ein.

$$x^{2}+x-42=\left(x-6\right)\left(x-\left(-7\right)\right)$$

Alle Ausdrücke der Form p-\left(-q\right) zu p+q vereinfachen.

$$x^{2}+x-42=\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Auswerten

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$