x^2+5x+7=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +5x+7 = 0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}\approx -2,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}\approx -2,5-0,866025404i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+5x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 5 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7}}{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu -28.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-3}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{3}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{3} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+5x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+5x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+5x=-7$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-7+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -7 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-5+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-5}{2}$$