x^2+5x+1=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +5x+1=0$$

Nach x auflösen

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2}\approx -0,208712153$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}\approx -4,791287847$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+5x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 5 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4}}{2}$$

5 zum Quadrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2}$$

Addieren Sie 25 zu -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -5 zu \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie \sqrt{21} von -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+5x+1=0$$

1 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+5x+1-1=-1$$

Die Subtraktion von 1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+5x=-1$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -1 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{21}-5}{2}$$