x^2+4x-1=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +4x-1=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{5} durch 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{5} durch 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Addieren Sie 1 zu 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vereinfachen.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Nach x auflösen

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=-\sqrt{5}-2\approx -4,236067977$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 4 und c durch -1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)}}{2}$$

4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4}}{2}$$

Addieren Sie 16 zu 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{20}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 20.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -4 zu 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4+2\sqrt{5} durch 2.

$$x=\sqrt{5}-2$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-4±2\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2\sqrt{5} von -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}-4}{2}$$

Dividieren Sie -4-2\sqrt{5} durch 2.

$$x=-\sqrt{5}-2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+4x-1=0$$

Addieren Sie 1 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Die Subtraktion von -1 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Subtrahieren Sie -1 von 0.

$$x^{2}+4x=1$$

Dividieren Sie 4, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 2 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 2 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+4x+2^{2}=1+2^{2}$$

2 zum Quadrat.

$$x^{2}+4x+4=1+4$$

Addieren Sie 1 zu 4.

$$x^{2}+4x+4=5$$

Faktor x^{2}+4x+4. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+2\right)^{2}=5$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

Vereinfachen.

$$x+2=\sqrt{5} x+2=-\sqrt{5}$$

2 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\sqrt{5}-2 x=-\sqrt{5}-2$$