x^2+3x-9=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +3x-9 = 0$$

Nach x auflösen

$$x = \frac{3 \sqrt{5} - 3}{2} \approx 1,854101966$$

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}\approx -4,854101966$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -9, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+36}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 36.

$$x=\frac{-3±\sqrt{45}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 45.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±3\sqrt{5}}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3\sqrt{5} von -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x-9=0$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+3x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Die Subtraktion von -9 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-9\right)$$

Subtrahieren Sie -9 von 0.

$$x^{2}+3x=9$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=9+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=9+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 9 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{3\sqrt{5}-3}{2} x=\frac{-3\sqrt{5}-3}{2}$$