x^2+3x-54=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +3x-54=0$$

Nach x auflösen

$$x=-9$$

$$x=6$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+3x-54 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-54$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -54 ergeben.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-6 b=9$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-6\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x+9=0.

$$x=6 x=-9$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-54 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-54\right)=-54$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -54 ergeben.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-6 b=9$$

x^{2}+3x-54 als \left(x^{2}-6x\right)+\left(9x-54\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(9x-54\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 9 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-6\right)+9\left(x-6\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-6 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-6\right)\left(x+9\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-6=0 und x+9=0.

$$x=6 x=-9$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x-54=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -54, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-54\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-54\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -54.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 216.

$$x=\frac{-3±\sqrt{225}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 225.

$$x=\frac{-3±15}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±15}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 15.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dividieren Sie 12 durch 2.

$$x=6$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±15}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 15 von -3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Dividieren Sie -18 durch 2.

$$x=-9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=6 x=-9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x-54=0$$

Addieren Sie 54 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+3x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Die Subtraktion von -54 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-54\right)$$

Subtrahieren Sie -54 von 0.

$$x^{2}+3x=54$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=54+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=54+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 54 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{225}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{15}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=6 x=-9$$