x^2+3x-180=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +3x-180=0$$

Nach x auflösen

$$x=-15$$

$$x=12$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+3x-180 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-12 b=15$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-180 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -180 ergeben.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-12 b=15$$

x^{2}+3x-180 als \left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(15x-180\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 15 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-12\right)+15\left(x-12\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-12 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-12\right)\left(x+15\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-12=0 und x+15=0.

$$x=12 x=-15$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch -180, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -180.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 729.

$$x=\frac{-3±27}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±27}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu 27.

$$x=\frac{24}{2}$$

Dividieren Sie 24 durch 2.

$$x=12$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±27}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 27 von -3.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Dividieren Sie -30 durch 2.

$$x=-15$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=12 x=-15$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x-180=0$$

Addieren Sie 180 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Die Subtraktion von -180 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+3x=-\left(-180\right)$$

Subtrahieren Sie -180 von 0.

$$x^{2}+3x=180$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 180 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=12 x=-15$$