x^2+3x+7=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}\approx -1,5+2,179449472i$$

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}\approx -1,5-2,179449472i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+3x+7=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 3 und c durch 7, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 7}}{2}$$

3 zum Quadrat.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 7}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-28}}{2}$$

Addieren Sie 9 zu -28.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-19}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -19.

$$x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -3 zu i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-3±\sqrt{19}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie i\sqrt{19} von -3.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+3x+7=0$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+3x+7-7=-7$$

Die Subtraktion von 7 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+3x=-7$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-7+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-7+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie -7 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=\frac{-3+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i-3}{2}$$