x^2+14x-2352=0 lösen

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Nach x auflösen

$$x=-56$$

$$x=42$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Um die Gleichung, den Faktor x^{2}+14x-2352 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) zu lösen. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2352 ergeben.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-42 b=56$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-42=0 und x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-2352 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -2352 ergeben.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 14 ergibt.

$$a=-42 b=56$$

x^{2}+14x-2352 als \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 56 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-42 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-42=0 und x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 14 und c durch -2352, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

14 zum Quadrat.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Addieren Sie 196 zu 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±98}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -14 zu 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Dividieren Sie 84 durch 2.

$$x=42$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-14±98}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 98 von -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Dividieren Sie -112 durch 2.

$$x=-56$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=42 x=-56$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Addieren Sie 2352 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Die Subtraktion von -2352 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Subtrahieren Sie -2352 von 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Dividieren Sie 14, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 7 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 7 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

7 zum Quadrat.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Addieren Sie 2352 zu 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Faktor x^{2}+14x+49. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Vereinfachen.

$$x+7=49 x+7=-49$$

7 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=42 x=-56$$