x^2+12x=640 lösen

$${ x }^{ 2 } +12x=640$$

Nach x auflösen

$$x=-32$$

$$x=20$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung

Subtrahieren Sie 640 von beiden Seiten.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie x^{2}+12x-640 mithilfe der Formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=-640$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -640 ergeben.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=-20 b=32$$

Schreiben Sie den faktorisierten Ausdruck "\left(x+a\right)\left(x+b\right)" mit den erhaltenen Werten um.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-20=0 und x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Subtrahieren Sie 640 von beiden Seiten.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-640 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=12 ab=1\left(-640\right)=-640$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -640 ergeben.

$$-1,640 -2,320 -4,160 -5,128 -8,80 -10,64 -16,40 -20,32$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+640=639 -2+320=318 -4+160=156 -5+128=123 -8+80=72 -10+64=54 -16+40=24 -20+32=12$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 12 ergibt.

$$a=-20 b=32$$

x^{2}+12x-640 als \left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(32x-640\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 32 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-20\right)+32\left(x-20\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-20 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-20\right)\left(x+32\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-20=0 und x+32=0.

$$x=20 x=-32$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$x^{2}+12x=640$$

640 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x^{2}+12x-640=640-640$$

Die Subtraktion von 640 von sich selbst ergibt 0.

$$x^{2}+12x-640=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch 12 und c durch -640, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-640\right)}}{2}$$

12 zum Quadrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-640\right)}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -640.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+2560}}{2}$$

Addieren Sie 144 zu 2560.

$$x=\frac{-12±\sqrt{2704}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2704.

$$x=\frac{-12±52}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±52}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -12 zu 52.

$$x=\frac{40}{2}$$

Dividieren Sie 40 durch 2.

$$x=20$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-12±52}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 52 von -12.

$$x=-\frac{64}{2}$$

Dividieren Sie -64 durch 2.

$$x=-32$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=20 x=-32$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$x^{2}+12x=640$$

Dividieren Sie 12, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um 6 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von 6 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=640+6^{2}$$

6 zum Quadrat.

$$x^{2}+12x+36=640+36$$

Addieren Sie 640 zu 36.

$$x^{2}+12x+36=676$$

Faktor x^{2}+12x+36. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x+6\right)^{2}=676$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{676}$$

Vereinfachen.

$$x+6=26 x+6=-26$$

6 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=20 x=-32$$