x^2+left(-3x+10right)^2=20 lösen

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Nach x auflösen

$$x=2$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(-3x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 100, um 80 zu erhalten.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+8 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 8 ergeben.

$$-1,-8 -2,-4$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -6 ergibt.

$$a=-4 b=-2$$

x^{2}-6x+8 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -2 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(-3x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtrahieren Sie 20 von beiden Seiten.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Subtrahieren Sie 20 von 100, um 80 zu erhalten.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 10, b durch -60 und c durch 80, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

-60 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie -40 mit 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Addieren Sie 3600 zu -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

Das Gegenteil von -60 ist 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{60±20}{20}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 60 zu 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Dividieren Sie 80 durch 20.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{60±20}{20}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 20 von 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Dividieren Sie 40 durch 20.

$$x=2$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=2$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(-3x+10\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Kombinieren Sie x^{2} und 9x^{2}, um 10x^{2} zu erhalten.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Subtrahieren Sie 100 von beiden Seiten.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Subtrahieren Sie 100 von 20, um -80 zu erhalten.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

Division durch 10 macht die Multiplikation mit 10 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Dividieren Sie -60 durch 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Dividieren Sie -80 durch 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Dividieren Sie -6, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -3 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -3 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

-3 zum Quadrat.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Addieren Sie -8 zu 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Faktor x^{2}-6x+9. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Vereinfachen.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Addieren Sie 3 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=2$$