c^2-8c+19=0 lösen

$${ c }^{ 2 } -8c+19=0$$

Nach c auflösen

$$c=4+\sqrt{3}i\approx 4+1,732050808i$$

$$c=-\sqrt{3}i+4\approx 4-1,732050808i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$c^{2}-8c+19=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 1, b durch -8 und c durch 19, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 19}}{2}$$

-8 zum Quadrat.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 19}}{2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 19.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-76}}{2}$$

Addieren Sie 64 zu -76.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-12}}{2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -12.

$$c=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{3}i}{2}$$

Das Gegenteil von -8 ist 8.

$$c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 8 zu 2i\sqrt{3}.

$$c=\frac{8+2\sqrt{3}i}{2}$$

Dividieren Sie 8+2i\sqrt{3} durch 2.

$$c=4+\sqrt{3}i$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung c=\frac{8±2\sqrt{3}i}{2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{3} von 8.

$$c=\frac{-2\sqrt{3}i+8}{2}$$

Dividieren Sie 8-2i\sqrt{3} durch 2.

$$c=-\sqrt{3}i+4$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$c^{2}-8c+19=0$$

19 von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$c^{2}-8c+19-19=-19$$

Die Subtraktion von 19 von sich selbst ergibt 0.

$$c^{2}-8c=-19$$

Dividieren Sie -8, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -4 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -4 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$c^{2}-8c+\left(-4\right)^{2}=-19+\left(-4\right)^{2}$$

-4 zum Quadrat.

$$c^{2}-8c+16=-19+16$$

Addieren Sie -19 zu 16.

$$c^{2}-8c+16=-3$$

Faktor c^{2}-8c+16. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(c-4\right)^{2}=-3$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(c-4\right)^{2}}=\sqrt{-3}$$

Vereinfachen.

$$c-4=\sqrt{3}i c-4=-\sqrt{3}i$$

Addieren Sie 4 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$c=4+\sqrt{3}i c=-\sqrt{3}i+4$$