4^2-4x(5-x)=0 lösen

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Nach x auflösen

$$x=1$$

$$x=4$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4x mit 5-x zu multiplizieren.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Ordnen Sie das Polynom neu an, um es in die Standardform zu bringen. Platzieren Sie die Terme in der Reihenfolge von der höchsten zur niedrigsten Potenz.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx+4 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b negativ ist, sind a und b beide negativ. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 4 ergeben.

$$-1,-4 -2,-2$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe -5 ergibt.

$$a=-4 b=-1$$

x^{2}-5x+4 als \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und -1 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-4 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-4=0 und x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4x mit 5-x zu multiplizieren.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 4, b durch -20 und c durch 16, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

-20 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie -16 mit 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Addieren Sie 400 zu -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

Das Gegenteil von -20 ist 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±12}{8}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 20 zu 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Dividieren Sie 32 durch 8.

$$x=4$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{20±12}{8}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 12 von 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividieren Sie 8 durch 8.

$$x=1$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=4 x=1$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Potenzieren Sie 4 mit 2, und erhalten Sie 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um -4x mit 5-x zu multiplizieren.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Subtrahieren Sie 16 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

Division durch 4 macht die Multiplikation mit 4 rückgängig.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -20 durch 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Dividieren Sie -16 durch 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Dividieren Sie -5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -4 zu \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktor x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addieren Sie \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=4 x=1$$