left(x+3right)^2+x^2=317 lösen

$${ \left(x+3 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } =317$$

Nach x auflösen

$$x=-14$$

$$x=11$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Subtrahieren Sie 317 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Subtrahieren Sie 317 von 9, um -308 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$x^{2}+3x-154=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als x^{2}+ax+bx-154 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=3 ab=1\left(-154\right)=-154$$

Weil ab negativ ist, haben a und b entgegengesetzte Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, hat die positive Zahl einen größeren Absolutwert als die negative. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt -154 ergeben.

$$-1,154 -2,77 -7,22 -11,14$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$-1+154=153 -2+77=75 -7+22=15 -11+14=3$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 3 ergibt.

$$a=-11 b=14$$

x^{2}+3x-154 als \left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right) umschreiben.

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(14x-154\right)$$

Klammern Sie x in der ersten und 14 in der zweiten Gruppe aus.

$$x\left(x-11\right)+14\left(x-11\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term x-11 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(x-11\right)\left(x+14\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie x-11=0 und x+14=0.

$$x=11 x=-14$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Subtrahieren Sie 317 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x+9-317=0$$

Subtrahieren Sie 317 von 9, um -308 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x-308=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 2, b durch 6 und c durch -308, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

6 zum Quadrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 2\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-8\left(-308\right)}}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie -8 mit -308.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+2464}}{2\times 2}$$

Addieren Sie 36 zu 2464.

$$x=\frac{-6±\sqrt{2500}}{2\times 2}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 2500.

$$x=\frac{-6±50}{2\times 2}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 2.

$$x=\frac{-6±50}{4}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±50}{4}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -6 zu 50.

$$x=\frac{44}{4}$$

Dividieren Sie 44 durch 4.

$$x=11$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-6±50}{4}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 50 von -6.

$$x=-\frac{56}{4}$$

Dividieren Sie -56 durch 4.

$$x=-14$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=11 x=-14$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+3\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+6x+9+x^{2}=317$$

Kombinieren Sie x^{2} und x^{2}, um 2x^{2} zu erhalten.

$$2x^{2}+6x+9=317$$

Subtrahieren Sie 9 von beiden Seiten.

$$2x^{2}+6x=317-9$$

Subtrahieren Sie 9 von 317, um 308 zu erhalten.

$$2x^{2}+6x=308$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 2.

$$\frac{2x^{2}+6x}{2}=\frac{308}{2}$$

Division durch 2 macht die Multiplikation mit 2 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{6}{2}x=\frac{308}{2}$$

Dividieren Sie 6 durch 2.

$$x^{2}+3x=\frac{308}{2}$$

Dividieren Sie 308 durch 2.

$$x^{2}+3x=154$$

Dividieren Sie 3, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{3}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{3}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=154+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{3}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=154+\frac{9}{4}$$

Addieren Sie 154 zu \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{625}{4}$$

Faktor x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{25}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{25}{2}$$

\frac{3}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=11 x=-14$$