left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2 lösen

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Nach x auflösen

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(x+14\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+22x+121" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und -x^{2}, um 0 zu erhalten.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 28x und -22x, um 6x zu erhalten.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 121 von 196, um 75 zu erhalten.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Auf beiden Seiten 12x addieren.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombinieren Sie 6x und 12x, um 18x zu erhalten.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtrahieren Sie 36 von beiden Seiten.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Subtrahieren Sie 36 von 75, um 39 zu erhalten.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Alle Gleichungen der Form ax^{2}+bx+c=0 können mithilfe dieser quadratischen Gleichung gelöst werden: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Die quadratische Gleichung ergibt zwei Lösungen, eine für ± bei Addition und eine bei Subtraktion.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch -1, b durch 18 und c durch 39, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

18 zum Quadrat.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie -4 mit -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 4 mit 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Addieren Sie 324 zu 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplizieren Sie 2 mit -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -18 zu 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dividieren Sie -18+4\sqrt{30} durch -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 4\sqrt{30} von -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dividieren Sie -18-4\sqrt{30} durch -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(x+14\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x+11\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Um das Gegenteil von "x^{2}+22x+121" zu finden, suchen Sie nach dem Gegenteil jedes Terms.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinieren Sie x^{2} und -x^{2}, um 0 zu erhalten.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Kombinieren Sie 28x und -22x, um 6x zu erhalten.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Subtrahieren Sie 121 von 196, um 75 zu erhalten.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

\left(x-6\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}" erweitern.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Subtrahieren Sie x^{2} von beiden Seiten.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Auf beiden Seiten 12x addieren.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Kombinieren Sie 6x und 12x, um 18x zu erhalten.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Subtrahieren Sie 75 von beiden Seiten.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Subtrahieren Sie 75 von 36, um -39 zu erhalten.

$$18x-x^{2}=-39$$

Quadratische Gleichungen wie diese können durch quadratische Ergänzung gelöst werden. Für die Anwendung der quadratischen Ergänzung muss die Gleichung zuerst in die Form x^{2}+bx=c gebracht werden.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Dividieren Sie beide Seiten durch -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

Division durch -1 macht die Multiplikation mit -1 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Dividieren Sie 18 durch -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Dividieren Sie -39 durch -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Dividieren Sie -18, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -9 zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -9 zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

-9 zum Quadrat.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Addieren Sie 39 zu 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Faktor x^{2}-18x+81. Wenn es sich bei x^{2}+bx+c um ein perfektes Quadrat handelt, kann es immer in der Form von \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisiert werden.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Vereinfachen.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Addieren Sie 9 zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$