left(3x+5right)^2+5left(3x+5right)+6=0 lösen

$${ \left(3x+5 \right) }^{ 2 } +5 \left( 3x+5 \right) +6=0$$

Nach x auflösen

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Schritte unter Verwendung von Faktorisierung mittels Gruppierung

\left(3x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 3x+5 zu multiplizieren.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinieren Sie 30x und 15x, um 45x zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Addieren Sie 25 und 25, um 50 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Addieren Sie 50 und 6, um 56 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Um die Gleichung zu lösen, faktorisieren Sie die linke Seite durch Gruppieren. Zuerst muss die linke Seite als 9x^{2}+ax+bx+56 umgeschrieben werden. Um a und b zu finden, stellen Sie ein zu lösendes System auf.

$$a+b=45 ab=9\times 56=504$$

Weil ab positiv ist, haben a und b dasselbe Vorzeichen. Weil a+b positiv ist, sind a und b beide positiv. Alle ganzzahligen Paare auflisten, die das Produkt 504 ergeben.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Die Summe für jedes Paar berechnen.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Die Lösung ist das Paar, das die Summe 45 ergibt.

$$a=21 b=24$$

9x^{2}+45x+56 als \left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right) umschreiben.

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right)$$

Klammern Sie 3x in der ersten und 8 in der zweiten Gruppe aus.

$$3x\left(3x+7\right)+8\left(3x+7\right)$$

Klammern Sie den gemeinsamen Term 3x+7 aus, indem Sie die distributive Eigenschaft verwenden.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+8\right)$$

Um Lösungen für die Gleichungen zu finden, lösen Sie 3x+7=0 und 3x+8=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

\left(3x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 3x+5 zu multiplizieren.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinieren Sie 30x und 15x, um 45x zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Addieren Sie 25 und 25, um 50 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Addieren Sie 50 und 6, um 56 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch 45 und c durch 56, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

45 zum Quadrat.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-36\times 56}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -36 mit 56.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-2016}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 2025 zu -2016.

$$x=\frac{-45±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus 9.

$$x=\frac{-45±3}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{-45±3}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±3}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie -45 zu 3.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-42}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{-45±3}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 3 von -45.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Verringern Sie den Bruch \frac{-48}{18} um den niedrigsten Term, indem Sie 6 extrahieren und aufheben.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

\left(3x+5\right)^{2} mit dem binomischen Lehrsatz "\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}" erweitern.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Verwenden Sie das Distributivgesetz, um 5 mit 3x+5 zu multiplizieren.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Kombinieren Sie 30x und 15x, um 45x zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Addieren Sie 25 und 25, um 50 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Addieren Sie 50 und 6, um 56 zu erhalten.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Subtrahieren Sie 56 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$9x^{2}+45x=-56$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}+45x}{9}=-\frac{56}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}+\frac{45}{9}x=-\frac{56}{9}$$

Dividieren Sie 45 durch 9.

$$x^{2}+5x=-\frac{56}{9}$$

Dividieren Sie 5, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um \frac{5}{2} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von \frac{5}{2} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{56}{9}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von \frac{5}{2}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{56}{9}+\frac{25}{4}$$

Addieren Sie -\frac{56}{9} zu \frac{25}{4}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{36}$$

Faktor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Vereinfachen.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{6}$$

\frac{5}{2} von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$