left(3xright)^2-4x+1=0 lösen

$${ \left(3x \right) }^{ 2 } -4x+1=0$$

Nach x auflösen (komplexe Lösung)

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}\approx 0,222222222+0,248451997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}\approx 0,222222222-0,248451997i$$

Schritte unter Verwendung der quadratischen Gleichung

Erweitern Sie \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Diese Gleichung hat die Standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersetzen Sie in der quadratischen Gleichung a durch 9, b durch -4 und c durch 1, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

-4 zum Quadrat.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie -4 mit 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36}}{2\times 9}$$

Addieren Sie 16 zu -36.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{-20}}{2\times 9}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel aus -20.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Das Gegenteil von -4 ist 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{2\times 9}$$

Multiplizieren Sie 2 mit 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}, wenn ± positiv ist. Addieren Sie 4 zu 2i\sqrt{5}.

$$x=\frac{4+2\sqrt{5}i}{18}$$

Dividieren Sie 4+2i\sqrt{5} durch 18.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9}$$

Lösen Sie jetzt die Gleichung x=\frac{4±2\sqrt{5}i}{18}, wenn ± negativ ist. Subtrahieren Sie 2i\sqrt{5} von 4.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+4}{18}$$

Dividieren Sie 4-2i\sqrt{5} durch 18.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Die Gleichung ist jetzt gelöst.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$

Schritte zum Fertigstellen des Quadrats

Erweitern Sie \left(3x\right)^{2}.

$$3^{2}x^{2}-4x+1=0$$

Potenzieren Sie 3 mit 2, und erhalten Sie 9.

$$9x^{2}-4x+1=0$$

Subtrahieren Sie 1 von beiden Seiten. Jede Subtraktion von null ergibt ihre Negation.

$$9x^{2}-4x=-1$$

Dividieren Sie beide Seiten durch 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division durch 9 macht die Multiplikation mit 9 rückgängig.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=-\frac{1}{9}$$

Dividieren Sie -\frac{4}{9}, den Koeffizienten des Terms x, durch 2, um -\frac{2}{9} zu erhalten. Addieren Sie dann das Quadrat von -\frac{2}{9} zu beiden Seiten der Gleichung. Dieser Schritt macht die linke Seite der Gleichung zu einem perfekten Quadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Bestimmen Sie das Quadrat von -\frac{2}{9}, indem Sie das Quadrat des Zählers und das Quadrat des Nenners des Bruchs bilden.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{1}{9}+\frac{4}{81}$$

Addieren Sie -\frac{1}{9} zu \frac{4}{81}, indem Sie einen gemeinsamen Nenner suchen und die Zähler addieren. Kürzen Sie anschließend den Bruch auf die kleinsten möglichen Terme.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=-\frac{5}{81}$$

Faktor x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. Wenn x^{2}+bx+c ein perfektes Quadrat ist, kann es im Allgemeinen immer als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} faktorisieren.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=-\frac{5}{81}$$

Ziehen Sie die Quadratwurzel beider Seiten der Gleichung.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{81}}$$

Vereinfachen.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{5}i}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{5}i}{9}$$

Addieren Sie \frac{2}{9} zu beiden Seiten der Gleichung.

$$x=\frac{2+\sqrt{5}i}{9} x=\frac{-\sqrt{5}i+2}{9}$$